社交牛X癥為什么總出在你朋友身上？這其實是一道數(shù)學(xué)題

撰文 | 白德凡

審校 | 王昱

圖片來源：pixabay

你對自己的朋友數(shù)量感到滿意嗎？你有沒有試著評估一下，自己的朋友數(shù)量在朋友圈中處于什么水平？如果是懷著攀比的心理去對比，數(shù)學(xué)家會告訴你，結(jié)果很可能會讓你失望，你擁有的朋友總是不如你朋友平均擁有的朋友多。這個數(shù)學(xué)上的證明結(jié)果有些違反直覺，人們稱之為“友誼悖論”。我們該如何解釋這個悖論？現(xiàn)實中的社交網(wǎng)絡(luò)真如悖論所反映的那樣嗎？

你的朋友圈里或許有那么一兩個社交達(dá)人，每天曬著和不同人的合照，一條動態(tài)就能引來上百個點贊；又或許有一兩個社交恐懼癥患者，朋友圈長期關(guān)閉，一年到頭也收不到他的一條消息；當(dāng)然更多的還是普通人，三五好友，不多但也滿足交友需求。面對這些天差地別的交友情況，你有沒有試著評估一下，自己的朋友數(shù)量在朋友圈中處于什么水平？是你自己擁有的朋友更多呢，還是你的朋友平均擁有的朋友更多？

友誼悖論

這里有種直觀的評估方式。假設(shè)我有4個朋友，分別是小紅、小綠、小藍(lán)和小黃。小紅有3個朋友，小綠有5個朋友，小藍(lán)也有5個朋友，小黃比較受歡迎，有7個朋友。要評估我的朋友數(shù)量的多少，很自然會想到以朋友們的平均情況為參考。那么我們可以定義一個數(shù)值表示我的“受歡迎度”：用我擁有的朋友數(shù)量減去我的朋友擁有的朋友數(shù)量的平均數(shù)。在這個例子里，我的受歡迎度是

4-(3+5+5+7)/4= -1

很不幸是個負(fù)數(shù)，這意味著，我擁有的朋友數(shù)量比不上我朋友平均擁有的朋友數(shù)量，或者說，我不如我的朋友那么受歡迎。當(dāng)然，這只是隨手舉出的個例，現(xiàn)實生活中的人，朋友有多有少，受歡迎度一定也有正有負(fù)。如果我們統(tǒng)計足夠多的人，計算他們的受歡迎度的平均值，會不會正負(fù)相消，得到一個接近于零的，沒有傾向性的結(jié)果呢？

出乎意料的是，有人證明了，受歡迎度的平均值永遠(yuǎn)是一個負(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)上有專門的工具來研究類似社交網(wǎng)絡(luò)這樣的復(fù)雜關(guān)系網(wǎng)。數(shù)學(xué)家用“圖”（graph）來描述交際網(wǎng)絡(luò)，每個人由一個節(jié)點（node）代表，如果兩個節(jié)點被一條邊（edge）鏈接起來，這兩個節(jié)點就成為了“鄰居”（neighbor），這也代表著相應(yīng)的兩個人互為朋友。一個節(jié)點的鄰居數(shù)量稱作這個節(jié)點的“度”（degree），在社交網(wǎng)絡(luò)里，它代表著一個人的朋友數(shù)量。我們在前文定義的一個人的“受歡迎度”，即是用對應(yīng)節(jié)點的度減去其各鄰居的度的平均值。通過這個轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)家們可以用數(shù)學(xué)方法來研究社交網(wǎng)絡(luò)的特征。

一個帶有6個節(jié)點的圖（圖片來源：Wikipedia）

而在1991年發(fā)表的一篇名為《為什么你的朋友比你擁有更多朋友》的論文中，社會學(xué)家斯科特·費爾德（Scott Feld）從數(shù)學(xué)上證明了，社交網(wǎng)絡(luò)的平均受歡迎度只在一種情況下等于零：網(wǎng)絡(luò)里每個人擁有同樣數(shù)量的朋友；而在其他所有情況下，平均受歡迎度都嚴(yán)格小于零，就像我和小紅、小綠、小藍(lán)、小黃的例子那樣。這是否意味著，對于社交網(wǎng)絡(luò)中的大多數(shù)人來說，他們的朋友數(shù)量真的不如朋友的朋友數(shù)量多？

費爾德在論文中順帶分析了一下1961年12所美國高中的社交網(wǎng)絡(luò)調(diào)查數(shù)據(jù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，確實大部分學(xué)生的朋友數(shù)量不如朋友的多。這個現(xiàn)象細(xì)想起來似乎有些違反直覺，因為在大部分人的印象里，在自己的朋友中，朋友數(shù)量比自己多的和比自己少的人應(yīng)該各占一半才對。因此這個現(xiàn)象在被費爾德首次提出后，一直引發(fā)著熱烈的討論，人們稱之為“友誼悖論”（friendship paradox）。

平均值的陷阱

友誼悖論的問題很可能出現(xiàn)在受歡迎度的定義上。拿自己的朋友數(shù)量和朋友的朋友數(shù)量平均值相比較，或許可以衡量單個個體的受歡迎程度；但這個量在社交網(wǎng)絡(luò)上的平均值，真的可以有效地反映這個社交網(wǎng)絡(luò)的整體特征嗎？

考慮這樣一個社交網(wǎng)絡(luò)，包含100個人，除了一對人互相不認(rèn)識之外，剩下的人兩兩都是朋友。那么對于這個社交網(wǎng)絡(luò)中的98個人來說，他們擁有99個朋友，因而受歡迎度是

99-(99+99+...+99+98+98)/99≈0.02

而對于互相不認(rèn)識的那兩個人來說，他們擁有98個朋友，因而受歡迎度是

98-(99+99+...+99+99+98)/99≈-0.9899

那么這個社交網(wǎng)絡(luò)的受歡迎度平均值為

(0.02×98-0.9899×2)/100≈-0.0002

確實是一個負(fù)數(shù)，符合費爾德的結(jié)論。然而，這意味著這個社交網(wǎng)絡(luò)中的大多數(shù)人不如朋友擁有的朋友數(shù)量多嗎？事實上，只有互相不認(rèn)識的那兩個人的朋友數(shù)量比不上朋友的朋友數(shù)量平均值，而剩下的98個人，擁有的朋友數(shù)量顯然比朋友擁有的平均值要大。這個例子說明，受歡迎度的平均值其實并不總是能有效反映一個社交網(wǎng)絡(luò)的整體特征。

事實上，在處理平均數(shù)時，統(tǒng)計學(xué)家總是非常小心。比如說，在一群收入相近的普通民眾中加入一個億萬富翁，那么這群人中絕大多數(shù)的收入比不上平均值，然而這并不代表這群人中有一半以上的人比另一半人收入低。社交網(wǎng)絡(luò)也是同樣的道理，社交達(dá)人們的朋友數(shù)量遠(yuǎn)高于一般水平，而不愛交際的人可能沒有幾個朋友，這些人的加入會極大影響平均受歡迎度的值，使這個量失去了統(tǒng)計意義。社交網(wǎng)絡(luò)的平均受歡迎度確實會一直小于零，這是個數(shù)學(xué)定理，但它并非在所有情況下都有對應(yīng)的現(xiàn)實意義。

社恐患者看到這里可以長舒一口氣了，你可能比計算結(jié)果更受人歡迎。

人類高質(zhì)量友誼

那么受歡迎度怎樣處理才能反映社交網(wǎng)絡(luò)的整體特征呢？我們不能只看這個量的平均值，還要看它的分布情況。在今年三月份發(fā)表的一篇論文中，三位物理學(xué)家用幾個數(shù)學(xué)模型演示了受歡迎度的分布情況如何隨著社交網(wǎng)絡(luò)規(guī)模而變化。

假設(shè)你對朋友數(shù)量的需求是固定的，那么隨著社交網(wǎng)絡(luò)的擴大，你和其中任意一個人成為朋友的概率會變小。當(dāng)這個社交網(wǎng)絡(luò)足夠大時，你實際擁有的朋友數(shù)量會近似呈現(xiàn)泊松分布（Poisson distribution）。三位研究人員首先用這個模型計算出了社交網(wǎng)絡(luò)的受歡迎度的分布情況，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，雖然受歡迎度的平均值總是小于零的，但是它的分布很寬，有相當(dāng)比例的人的受歡迎度其實大于零。當(dāng)這個社交網(wǎng)絡(luò)中的人平均有8個朋友時，大約35%的人的受歡迎度是正數(shù)；平均每人有64個朋友時，則是44%；當(dāng)平均每人有1024個朋友時，則有約49%的人的受歡迎度是正數(shù)，幾乎是對半開了。

研究人員還用兩種改進(jìn)過的模型模擬了幾種現(xiàn)實生活中的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，包括科學(xué)家合作網(wǎng)絡(luò)、爵士樂社區(qū)網(wǎng)絡(luò)、海豚社交網(wǎng)絡(luò)等，計算出受歡迎度的分布情況，與調(diào)查結(jié)果吻合良好。

圖片來源：pixabay

當(dāng)然，現(xiàn)實生活中不太可能有人結(jié)交上千個朋友，不過這項研究結(jié)果倒是可以幫你根據(jù)自己的交友規(guī)模，來估算自己有多大概率屬于朋友圈中的社交達(dá)人。不過無論結(jié)果如何，朋友數(shù)量不應(yīng)該成為你交際活動中唯一的關(guān)注點。畢竟最終決定你幸福感的，不是友誼的數(shù)量，而是友誼的質(zhì)量。

參考來源：

https://nautil.us/blog/why-you-may-have-more-friends-than-your-friends-do

論文鏈接：

https://www.jstor.org/stable/2781907?origin=JSTOR-pdf

https://academic.oup.com/comnet/article/9/2/cnab011/6287259

來源：環(huán)球科學(xué)

編輯：牧魚