情人節(jié)，如何用數(shù)學(xué)方法估算一個(gè)女生前男友的數(shù)量？

如果一個(gè)女生說，她集齊了十二個(gè)星座的前男友，我們應(yīng)該如何估計(jì)她前男友的數(shù)量？

小學(xué)生：這個(gè)問題相當(dāng)簡單公式：

數(shù)據(jù)：

{白羊座, 金牛座, 雙子座, 巨蟹座, 獅子座, 處女座, 天秤座, 天蝎座, 射手座, 摩羯座, 水瓶座, 雙魚座}

實(shí)現(xiàn)：

N@# HarmonicNumber@# &@12

答案：

37.2385

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初中生：不知道要考慮分布嗎？公式：

數(shù)據(jù)：

n=12

實(shí)現(xiàn)：

DiscretePlot[c!StirlingS2[n-1,c-1]/c^n/.c->12,{n,1,100}]

答案：

有10%的把握少于17個(gè)，有50%的把握少于35個(gè)。

有90%的把握少于55個(gè)，有99%的把握少于82個(gè)。

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高中生：知不知道人群中星座分布比例不均？公式：

數(shù)據(jù)：

額外假設(shè)1：題主是中國人，所以使用中國的星座分布數(shù)據(jù)

額外假設(shè)2：題主是適齡青年，所以使用年齡18-36的星座分布數(shù)據(jù)

第一個(gè)是白羊座，然后是金牛，以此類推…

p={0.1028,0.0911,0.0843,0.0822,0.0848,0.085,0.0857,0.0795,0.0753,0.0761,0.0808,0.073}

注1：不要吐槽總和不是1，因?yàn)橛猩崛胝`差……

實(shí)現(xiàn)：

NIntegrate[1-Fold[Times,1,1-E^(-#t)&/@p],{t,0,9527}]

答案：

37.7424，就比均勻分布多了0.5個(gè)…

可以類比均值不等式理解為何分布默認(rèn)均勻的時(shí)候最小

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大學(xué)生：難道不知道上一任男友對下一次決策有影響嗎？比如……哦不……顯然

上任是處女座，估摸著下任怎么著也不會(huì)是處女座了…

上任是天蝎座，那么我打包票，你不會(huì)也不敢有下任了…

然后順便把上面的星座分布不均也考慮進(jìn)去…

所以我們可以用一個(gè)轉(zhuǎn)移矩陣來刻畫這個(gè)情況。

或者畫成12個(gè)節(jié)點(diǎn)的加權(quán)有向圖…

然后求這個(gè)加權(quán)圖G的隨機(jī)游走覆蓋時(shí)間(Cover Time)

考慮到嚴(yán)謹(jǐn)性我應(yīng)該證明一下上面的一堆公式，不過上面三個(gè)公式每個(gè)都能寫篇大論文，短短篇幅說不清，所以解釋就化歸到這個(gè)問題一并解決…

隨機(jī)游走

把12星座畫成12個(gè)節(jié)點(diǎn)，然后可以作為下任的話就畫個(gè)箭頭箭頭有個(gè)粗細(xì)程度，這個(gè)叫加權(quán)，加權(quán)決定了選這個(gè)下任的概率有多大，實(shí)際概率波動(dòng)不大所以不明顯分析這144個(gè)關(guān)系全都畫出來就是上面這張圖選男友的過程數(shù)學(xué)上被稱為圖G上的隨機(jī)游走Cover Time

這些節(jié)點(diǎn)全部經(jīng)過至少一遍所需要的時(shí)間叫做Cover Time子問題包括各種著名概率問題，生日問題啊，贈(zèng)券收集啊等等…衍生問題還有復(fù)遍歷，多重遍歷什么的，可以有效用于氪金估計(jì)…退化問題，退化為Tree的話可以相當(dāng)有效的進(jìn)行爬蟲策略優(yōu)化…顯然上面三個(gè)公式都是這個(gè)問題的特例

1、小學(xué)生：12階非加權(quán)完全圖的Cover Time

2、初中生：12階非加權(quán)完全圖指定Cover程度后的Time分布

3、高中生：12階加權(quán)完全圖的Cover Time

這個(gè)問題數(shù)學(xué)上來說的話不難，窮舉所有路徑首次通過時(shí)間的分布的平均值的交錯(cuò)和就行了...寫成公式就是這樣：

記A為G的所有可能通過的路徑

雖然能寫出公式然而并沒有什么用，求解精確值還是個(gè)世界難題…

寫成代碼是這個(gè)樣子的，復(fù)雜度足夠讓算法學(xué)家爆氣…

幸好星座只有12個(gè)我的小CPU還能踉蹌跑完...56個(gè)民族的話到宇宙滅亡也跑不完

而且蒙特卡洛效果也不太好，小規(guī)模精度不夠，大規(guī)?；九懿煌辍?/p>

一般可以用Matthews逼近來稍稍有效的求一下上下界…

見Markov Chains and Mixing Times一書

哦，忘記說計(jì)算結(jié)果了，初始節(jié)點(diǎn)對最后的結(jié)果影響不小，所以第一個(gè)男友很重要啊

也就是13個(gè)人為實(shí)驗(yàn)組，考察下質(zhì)量然后放棄掉，然后后面27個(gè)只要有超過前13個(gè)中最強(qiáng)的就嫁了吧……

Well.....So,Reasons to believe that you are the 13th rebound guy...

簡單地說就是找12個(gè)星座的男生采樣比較均勻……